MUTUAL REDUCTION OF LINEAR MULTIPERIODIC SYSTEMS OF EQUATIONS WITH DIFFERENTIATION OPERATORS

Аннотация

Важным методом упрощения задач теории дифференциальных уравнений является
приводимость рассматриваемых систем к системам более простого вида, в смысле разрешимости
поставленных задач. Известно, что основа теории приводимости заложены А.М. Ляпуновым [1] и
развита Н.П. Еругиным [2], которая привлекательно освещена в [3]. Особое место занимают вопросы
приводимости линейных систем с периодическими и многопериодическими коэффициентами к
системам с постоянными коэффициентами, которые изучены сравнительно широко и глубоко. Тем
не менее, и в этом направлении имеются как хорошо изученные разделы, так и слабо исследованные
задачи, а в настоящее время существуют и нерешенные проблемы. На наш взгляд, одной из
причин слабой изученности этих проблем заключается в отсутствии общего подхода к вопросу
приводимости, который дает общую ориентацию в решении проблем. Для примера рассмотрим
линейную однородную систему обыкновенных дифференциальных уравнений с непреривными
периодическими коэффициентами. Путем усреднения по независимой переменной получим систему
с постоянными коэффициентами. Возникает вопрос: приводима ли исходная система к полученной
уравнением системе? Очевидно, что ответа не будет, поскольку не изучена проблема приводимости
двух систем, одной к другой.
В таком же положении будем, если поставим вопрос о взаимной приводимости двух линейных
систем с непрерывными периодическими коэффициентами, хотя они в отдельности приводимые к
системам с постоянными коэффициентами.
Еще хуже обстоит дело о взаимной приводимости двух линейных систем с многочастотными
134
N E W S of theNationalAcademy of Sciences of the Republicof Kazakhstan
колебательными коэффициентами приводимость которых к системам с постоянными коэффициентами
еще не решена. Последний вопрос можно исследовать путем перехода к системам уравнений в частных
производных с многопериодическими коэффициентами и с линейным однородным оператором
дифференцирования по направлениям векторных полей [4-7], [10-12]. Данная статья посвящена
изучению задачи о взаимной приводимости линейных однородных систем с многопериодическими
коэффициентами, где сначала рассматривается система с оператором дифференцирования по
направлению главной диагонали, а затем результаты этого частного случая обобщаются на общий
случай. Таким образом, на основе многопериодических матриц преобразования установлена связь
между взаимно приводимых систем, установлено, что у взаимно приводимых систем такого характера
матрицы монодромии являются подобными между собой в некотором обобщенном смысле