ЛОКАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ТИПА КОДАМЫ И ПРЕДЕЛЫ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ РАСШИРЕННОГО УРАВНЕНИЯ КОРТЕВЕГА-ДЕ ФРИЗА ПЯТОГО ПОРЯДКА

Аннотация

Расширенное уравнение Кортевега-де Фриза (КдФ) пятого порядка u_t + 6uu_x + u_xxx + ε(α₁u²u_x + γ₁uu_xxx + γ₂u_xu_xx + β₁u_5x) = 0 моделирует длинные внутренние волны в двухслойной стратифицированной жидкости с учетом дисперсионных и нелинейных поправок следующего порядка. Вопрос о том, сохраняют ли эти четыре поправочных члена интегрируемость при чисто локальной замене зависимой переменной, без введения нелокального члена, до сих пор не получил точного ответа. Мы применяем локальное преобразование, близкое к тождественному u = v + ε(av² + bv_xx), и вычисляем его влияние на четыре коэффициента поправок с точностью до O(ε). Мы вычисляем производную по времени от третьей сохраняющейся плотности КдФ при том же преобразовании, исследуем совместность матричной схемы Лакса АКНС размера 2 × 2 с квадратичным членом 6uu_x и проводим анализ линейной уравнения с поправкой. Локальное преобразование полностью устраняет коэффициенты α₁ и γ₂ при любых их значениях, но не может исключить γ₁ или β₁ ни при каком выборе параметров преобразования. Уравнение сводится точно к КдФ тогда и только тогда, когда γ₁ = β₁ = 0. При этом же условии вдоль решений сохраняется третий инвариант КдФ. Поправка к разности между групповой и фазовой скоростями, обусловленная дисперсией пятого порядка, получена в замкнутом виде: ΔV(k, ε) − ΔV(k, 0) = 4εβ₁k⁴. Полученные результаты дают точный, легко проверяемый критерий того, какие именно поправочные члены в уравнении внутренних волн пятого порядка могут быть устранены локальными средствами, а какие отражают подлинную физику высших порядков, что важно для оценки асимметрии волновых пакетов в стратифицированных океанических течениях.